Question

已知f（x）=x-lnx，g（x）=，其中x∈（0，e]（e是自然常数）．
（Ⅰ）求f（x）的单调性和极小值；
（Ⅱ）求证：g（x）在（0，e]上单调递增；
（Ⅲ）求证：f（x）＞g（x）+．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵f（x）=x-lnx，∴f′（x）=（x＞0），
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增
∴f（x）的极小值为f（1）=1------（4分）
（Ⅱ）证明：求导数可得
∴当0＜x＜e时，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，e]上单调递增------（3分）
（Ⅲ）证明：∵f（x）的极小值为1，即f（x）在（0，e]上的最小值为1，∴f（x）＞0，f（x）_min=1
∴------（3分）
∴f（x）＞g（x）+．
分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调性，从而可求f（x）的极小值；
（Ⅱ）求导数，利用0＜x＜e时，g'（x）＞0，可得结论；
（Ⅲ）证明即可．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查不等式的证明，确定函数的最值是关键．