题目内容
（2013•西城区一模）已知函数f（x）=sinx-acosx的一个零点是
．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设g(x)=f(x)•f(-x)+2
sinxcosx，求g（x）的单调递增区间．
| π |
| 4 |
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设g(x)=f(x)•f(-x)+2
| 3 |
分析：（Ⅰ）依题意根据函数的零点的定义可得f(
)=0，由此求得a的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f（x）=sinx-cosx，利用三角函数的恒等变换化简函数g（x）的解析式为 2sin(2x+
)，由 2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，求得x的范围，即可求得 g（x）的单调递增区间．
| π |
| 4 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f（x）=sinx-cosx，利用三角函数的恒等变换化简函数g（x）的解析式为 2sin(2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
解答：（Ⅰ）解：依题意，得f(
)=0，即 sin
-acos
=
-
=0，解得 a=1．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 f（x）=sinx-cosx．
故 g(x)=f(x)•f(-x)+2
sinxcosx=(sinx-cosx)(-sinx-cosx)+
sin2x
=(cos2x-sin2x)+
sin2x=cos2x+
sin2x=2sin(2x+
)．
由 2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，求得 kπ-
≤x≤kπ+
，k∈Z．
所以，g（x）的单调递增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈Z．
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 f（x）=sinx-cosx．
故 g(x)=f(x)•f(-x)+2
| 3 |
| 3 |
=(cos2x-sin2x)+
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
由 2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
所以，g（x）的单调递增区间为[kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
点评：本题主要考查函数的零点的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调区间的求法，属于中档题．
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