Question

已知函数f(x)=

x

x+2

，x∈[3，6]．
（Ⅰ）判断f（x）的单调性，并利用单调性的定义证明；  
（Ⅱ）求f（x）在[3，6]上的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）任取3≤x₁＜x₂≤6，我们构造出f（x₂）-f（x₁）的表达式，根据实数的性质，
我们易出f（x₂）-f（x₁）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）可知函数的单调性，将区间端点的值代入即可求出最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）区间[3，6]上单调递增．…（2分）
任取x₁，x₂∈[3，6]，且x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=

x1

x1+2

-

x2

x2+2

=

2(x1-x2)

(x1+2)(x2+2)

…（5分）
∵3≤x₁＜x₂≤6∴x₁-x₂＜0，x₁+2＞0，x₂+2＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴由单调性的定义知，函数f（x）区间[3，6]上单调递增．…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f（x）区间[3，6]上单调递增，
∴[f（x）]_min=f（3），[f（x）]_max=f（6）∵f(3)=

3

3+2

=

3

5

，f(6)=

6

6+2

=

3

4

∴[f(x)]min=

3

5

，[f(x)]max=

3

4

．…（12分）

点评：本题主要考查函数单调性的判断与证明，以及应用单调性求函数的最值，同时还考查了学生的变形，转化能力，属中档题．