Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，1）时，f(x)=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并给予证明；
（3）当实数λ为何值时，关于x的方程f（x）=λ在（-1，1）上有解？

Answer 1

分析：（1）定义在R上的奇函数f（x），可得f（0）=0，及x∈（-1，0）时f（x）的解析式，x=-1和1时，同时结合奇偶性和单调性求解．
（2）证明单调性可用定义或导数解决．
（3）利用（2）的结果得出函数在区间在（-1，1）上的取值范围，从而得出x的方程f（x）=λ在（-1，1）上有解的实数λ的范围即可．

解答：解：（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）．
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

=-

2x

4x+1

由f（0）=f（-0）=-f（0），
得f（0）=0．
∴在区间[-1，1]上，有f（x）=

2x 4x+1     x∈(0，1) - 2x 4x+1      x∈(-1，0) 0               x∈{-1，0，1}

（2）证明当x∈（0，1）时，f（x）=

2x

4x+1

，设0＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴2x2-2x1＞0，2x2+x1-1＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，1）上单调递减．
（3）由（2）得，函数f（x）在区间在（-1，1）上的取值范围是（

2

5

，

1

2

）∪（-

1

2

，

2

5

）∪{0}．
∴当实数λ∈（

2

5

，

1

2

）∪（-

1

2

，

2

5

）∪{0}时，关于x的方程f（x）=λ在（-1，1）上有解

点评：本题考查奇偶性、函数单调性的判断与证明的综合应用，及函数与方程的综合运用，综合性较强．