Question

在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，cos(C+

π

4

)+cos(C-

π

4

)=

2

2

（1）求角C的大小；
（2）若c=2

3

且sinA=2sinB，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）首先利用余弦的和差公式化简cos(C+

π

4

)+cos(C-

π

4

)=

2

2

，再根据角的范围求出C的度数；
（2）利用正弦定理sinA=2sinB得出a=2b，再利用余弦定理求出a、b的值，然后根据S△ABC=

1

2

absinC=2

3

．

解答：解：（1）∵cos(C+

π

4

)+cos(C-

π

4

)=

2

2

，2cosCcos

π

4

=

2

2

，
∴cosC=

1

2

，
∵在△ABC中，0＜C＜π，
∴C=

π

3

．
（2）∵sinA=2sinB
∴a=2b
∵c²=a²+b²-2abcosC
∴(2

3

)2=4b2+b2-2•2bb•

1

2

=3b2
∴b=2，∴a=4，∴S△ABC=

1

2

absinC=2

3

点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用、正余弦定理的运用，（1）问中注意角C的范围．属于基础题．