Question

二次函数y=x²+ax+1，当x∈[2，3]时y＞0恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A、(-

  5

  2

  ，+∞)
• B、(-

  5

  2

  ，-2)
• C、[-

  5

  2

  ，+∞)
• D、(-

  10

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：由x∈[2，3]时y＞0恒成立可得，a＞-

x2+1

x

在x∈[2，3]恒成立，构造函数 g(x)=-

x2+1

x

，x∈[2，3]从而转化为a＞g（x）_max结合函数 g(x)=-

x2+1

x

=-(x+

1

x

)在x∈[2，3]单调性可求．

解答：解：∵二次函数y=x²+ax+1，当x∈[2，3]时y＞0恒成立
∴a＞-

x2+1

x

在x∈[3，4]恒成立，
令 g(x)=-

x2+1

x

，x∈[2，3]即a＞g（x）_max
而 g(x)=-

x2+1

x

=-(x+

1

x

)在x∈[2，3]单调递减，
故g（x）在x=2时取得最大值-

5

2

则a的取值范围是(-

5

2

，+∞)
故选A．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，此类问题常构造函数，转化为求解函数的最值问题：a＞f（x）（或a＜f（x））恒成立?a＞f（x）_max（或a＜f（x）_min），体现了转化思想在解题中的应用．