Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=

1

3

S_n（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）根据a_n+1=

1

3

S_n，分别令n=1，2，3即可求得a₂，a₃，a₄的值；
（2）由a_n+1=

1

3

S_n，得an=

1

3

Sn-1(n≥2)，两式相减可得数列递推式，由递推式可判断{a_n}从第2项起，以后各项成等比数列，从而得通项公式；

解答：解：（1）∵a_n+1=

1

3

S_n，
∴a2=

1

3

S1=

1

3

a1=

1

3

，
∴a3=

1

3

S2=

1

3

(a1+a2)=

1

3

(1+

1

3

)=

4

9

，
∴a4=

1

3

S3=

1

3

(a1+a2+a3)=

1

3

(1+

1

3

+

4

9

)=

16

27

；
（2）∵a_n+1=

1

3

S_n，∴an=

1

3

Sn-1(n≥2)，
两式相减得：an+1-an=

1

3

(Sn-Sn-1)=

1

3

an，
∴an+1=

4

3

an(n≥2)，
∴数列{a_n}从第2项起，以后各项成等比数列，an=

1

3

×(

4

3

)n-2(n≥2)，
 故数列{a_n}的通项公式为an=

1 3 ×( 4 3 )n-2，(n≥2) 1，(n=1)

．

点评：本题考查由数列递推公式求数列通项公式，解决（2）问关键是明确关系式：an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

．