题目内容
已知函数f（x）=2cos2x+sin2x+a-1（a∈R），
（1）当a=1时，求f（x）的周期和值域；
（2）当f（x）=0在[0，
]上有且仅有两个实数解时，求a的取值范围．
（1）当a=1时，求f（x）的周期和值域；
（2）当f（x）=0在[0，
| π | 2 |
分析：利用二倍角公式对函数化简可得，f（x）=2cos2x+sin2x+a-1=cos2x+sin2x+a=
sin(2x+
)+a
（1）当a=1时，f（x）=
sin(2x+
)+1，利用周期T=
可求T，结合-1≤sin(2x+
)≤1可求函数的值域
（2）f（x）=
sin(2x+
)+a=0可得-a=
sin(2x+
)，由x∈[0，
] 可得2x+
∈[
，
]，结合正弦函数的图象可求a的范围
| 2 |
| π |
| 4 |
（1）当a=1时，f（x）=
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2π |
| ω |
| π |
| 4 |
（2）f（x）=
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
解答：解：∵f（x）=2cos2x+sin2x+a-1=cos2x+sin2x+a=
sin(2x+
)+a
（1）当a=1时，f（x）=
sin(2x+
)+1
周期T=
=π
-1≤sin(2x+
)≤1
-
+1≤
sin(2x+
)+1≤1+
值域[1-
，1+
]；
（2）f（x）=
sin(2x+
)+a=0可得-a=
sin(2x+
)
∵x∈[0，
]∴2x+
∈[
，
]
结合正弦函数的图象可知，要使得方程-a=
sin(2x+
)在x∈[0，
]上有2个根
则1≤-a＜
∴-
＜a≤-1
| 2 |
| π |
| 4 |
（1）当a=1时，f（x）=
| 2 |
| π |
| 4 |
周期T=
| 2π |
| 2 |
-1≤sin(2x+
| π |
| 4 |
-
| 2 |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
值域[1-
| 2 |
| 2 |
（2）f（x）=
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 4 |
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 5π |
| 4 |
结合正弦函数的图象可知，要使得方程-a=
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
则1≤-a＜
| 2 |
| 2 |
点评：本题主要考查了三角函数的二倍角公式在三角函数化简中的应用，还考查了三角函数的周期的求解，值域的求解，解答的关键是熟练利用正弦函数的图象．
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