题目内容
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若| AB |
| AC |
| BA |
| BC |
（Ⅰ）求证：A=B；
（Ⅱ）求边长c的值；
（Ⅲ）若|
| AB |
| AC |
| 6 |
分析：（1）由|
|=a，|
|=b，|
|=b故可将•
=
•
=1转化为一个三角方程，解方程即可证明：A=B
（2）由（1）的结论，再结合余弦定理，可构造一个关于c的方程，解方程易求c值．
（3）若|
+
|=
平方后，结合余弦定理，可以判断三角形的形状，再结合（2）的结论，即可求△ABC的面积．
| AB |
| AC |
| BC |
| AC |
| BA |
| BC |
（2）由（1）的结论，再结合余弦定理，可构造一个关于c的方程，解方程易求c值．
（3）若|
| AB |
| AC |
| 6 |
解答：解：（Ⅰ）∵
•
=
•
．
∴bccosA=accosB，即bcosA=acosB
由正弦定理得sinBcosA=sinAcosB
∴sin（A-B）=0
∵-π＜A-B＜π
∴A-B=0，∴A=B
（Ⅱ）∵
•
=1，∴bccosA=1
由余弦定理得bc•
=1，即b2+c2-a2=2
∵由（Ⅰ）得a=b，∴c2=2，∴c=
（Ⅲ）∵|
+
|=
，∴|
|2+|
|2+2|
•
|=6
即c2+b2+2=6
∴c2+b2=4
∵c2=2
∴b2=2，b=
∴△ABC为正三角形
∴S△ABC=
×（
）2=
| AB |
| AC |
| BA |
| BC |
∴bccosA=accosB，即bcosA=acosB
由正弦定理得sinBcosA=sinAcosB
∴sin（A-B）=0
∵-π＜A-B＜π
∴A-B=0，∴A=B
（Ⅱ）∵
| AB |
| AC |
由余弦定理得bc•
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
∵由（Ⅰ）得a=b，∴c2=2，∴c=
| 2 |
（Ⅲ）∵|
| AB |
| AC |
| 6 |
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
即c2+b2+2=6
∴c2+b2=4
∵c2=2
∴b2=2，b=
| 2 |
∴△ABC为正三角形
∴S△ABC=
| ||
| 4 |
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：（1）中在判断三角形形状时，要注意对角的范围进行分析，即求角的大小需要两个条件：该角的一个三角函数值和该角的范围，缺一不可．（2）正、余弦定理是解三解形必用的数学工具，正弦定理一般用于已知两角一边及两边和其中一边对角的情况，余弦定理一般用于已知三边及两边和其夹角的情况．
练习册系列答案
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在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2-a2=
bc，且b=
a，则下列关系一定不成立的是（ ）
| 3 |
| 3 |
| A、a=c |
| B、b=c |
| C、2a=c |
| D、a2+b2=c2 |