Question

设二次函数=ax²+bx+c(a>0),方程-x=0的两个根x₁、x₂满足0<x₁<x₂<.

       (1)当x∈(0,x₁)时,证明x<<x₁;

       (2)设函数的图象关于直线x=x₀对称,证明x₀<.

      

Answer 1

思路分析:(1)要证x<<x₁,实际上证明-x>0且x₁->0即可.(2)略.?

       证明:(1)令F(x)= -x,因为x₁、x₂是方程-x=0的两个根,所以F(x)=a(x-x₁)(x-x₂).

       当x∈(0,x₁)时,由于x₁<x₂,得(x-x₁)(x-x₂)>0,?

       又a>0,∴F(x)=a(x-x₁)(x-x₂)>0,即x<.?

       同样地,x₁-=x₁-［x+F(x)］=x₁-x-a(x-x₁)(x-x₂)=(x₁-x)［1+a(x-x₂)］.?

       因为0<x<x₁<x₂<,?

       所以x₁-x>0,1+a(x-x₂)=1+ax-ax₂>1-ax₂>0,?

       即x₁->0.由此得<x₁.?

       ∴当x∈(0,x₁)时,x<<x₁.?

       (2)依题意知x₀=-.因为x₁、x₂是方程-x=0的两个根,即x₁、x₂是方程ax²+(b-1)x+c=0的根,所以x₁+x₂=-,则x₀=-==.因为ax₂<1,所以x₀<.