Question

我们知道，等差数列和等比数列有许多性质可以类比，现在给出一个命题：若数列{a_n}、{b_n}是两个等差数列，它们的前n项的和分别是S_n，T_n，则

an

bn

=

S2n-1

T2n-1

（1）请你证明上述命题；
（2）请你就数列{a_n}、{b_n}是两个各项均为正的等比数列，类比上述结论，提出正确的猜想，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）直接利用等差数列的性质：若m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q及等差数列的前n项和公式即可得到证明；
（2）等比数列通常与等差数列类比，加法类比为乘法，平面中的面积类比为体积，算术平均数类比为几何平均数，本题是一个加法类比为乘法，算术平均数类比为几何平均数．

解答：解：（1）证明：

在等差数列{an}中，an= a1+a2n-1 2 (n∈N*) 那么对于等差数列{an}、{bn}有： an bn = 1 2 (a1+a2n-1) 1 2 (b1+b2n-1) = 1 2 (a1+a2n-1)(2n-1) 1 2 (b1+b2n-1)(2n-1) = S2n-1 T2n-1

（2）猜想：数列{a_n}、{b_n}是两个各项均为正的等比数列，它们的前n项的积分别是

Xn，Yn，则( an bn ) 2n-1= X2n-1 Y2n-1 证明：在等比数列{an}中， a n 2 =a1a2n-1=a2a2n-2=…(n∈N*) a n 2n-1 =a1a2a3…a2n-1(n∈N*) 那么对于等比数列{an}、{bn}有 ( an bn )2n-1= a1a2a3…a2n-1 b1b2b3…b2n-1 = X2n-1 Y2n-1

点评：在解题过程中，寻找解题的突破口，往往离不开类比联想，我们在解题中，要进一步通过概念类比、性质类比、结构类比以及方法类比等思维训练途径，来提高类比推理的能力，培养探究创新精神．