Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+?）（其中A＞0，ω＞0，0＜?＜

π

2

）图象的相邻两条对称轴间的距离为

π

2

，且图象上一个最高点的坐标为(

π

6

，2)．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）图象的相邻两条对称轴间的距离为 

π

2

，求出周期，求出ω的值．图象上一个最高点的坐标为(

π

6

，2)，求出A的值，利用点在图象上，求出φ，然后求出解析式．
（Ⅱ）通过函数图象的平移求出变换后的解析式，利用正弦函数的单调减区间求解函数的减区间即可．

解答：解：（I）函数图象上一个最高点的坐标为(

π

6

，2)．A=2；
图象的相邻两条对称轴间的距离为

π

2

，所以T=π，ω=2，
∵(

π

6

，2)在图象上，所以2×

π

6

+φ=2kπ+

π

2

，（k∈Z），
故φ=2kπ+

π

6

，（k∈Z），又0＜φ＜

π

2

∴φ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）；    
 （Ⅱ）将函数f（x）=f（x）=2sin（2x+

π

6

）的图象向右平移

π

6

个单位后，
得到函数y=g（x）=2sin[2（x-

π

6

）+

π

6

]=2sin（2x-

π

6

）的图象，
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得：x∈[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]，k∈Z．
函数g（x）的单调递减区间：[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]，k∈Z．

点评：本题是中档题，考查三角函数解析式的求法，三角函数图象的平移单调减区间的求法，考查计算能力，逻辑推理能力．