Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，经过点P（，1）且离心率．过定点C（-1，0）的直线与椭圆相交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在点M，使MA•MB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆的标准方程，根据题设条件和a，b和c的关系联立方程求得a和b，进而可得椭圆的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x+1）．椭圆与直线方程联立消元．根据韦达定理求得交点横坐标的和与积，根据题设中的向量的关系求得m，进而得出M的坐标；当直线AB与x轴垂直时，则直线AB的方程为x=-1．进而求得A和B的坐标，求得m．最后综合可得答案．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为
由已知可得，
解得a²=4，b²=2．
所求椭圆的方程为．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0）
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x+1）．
，
，

=
=
=
=
∵是与k无关的常数，
∴
∴，即．
此时，．
当直线AB与x轴垂直时，则直线AB的方程为x=-1．
此时点A，B的坐标分别为
当时，亦有
综上，在x轴上存在定点，使为常数．
点评：本题主要考查了椭圆的方程和直线与椭圆的关系．当解决直线与椭圆的关系时，常需要联立方程进行消元．