Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD－中，M为AB的中点，E为的中点，（说明：原图没有线段BC₁，EO，AC₁，请你自己在使用时将图修改一下）

   （Ⅰ）求证：ME⊥BC₁

   （Ⅱ）求点M到平面DB₁C的距离；

   （Ⅲ）求二面角M－B₁C－D的大小.

Answer 1

解：（Ⅰ）连接，依题意可得E为的中点，连接，设交于点O，

又∵M为AB的中点，∴∥.  

在正方形BCC₁B₁中，⊥B₁C

∴⊥B₁C.

（Ⅱ）∵⊥B₁C  BC₁⊥DC  ∴ BC₁⊥面DB₁C，又∵∥，

⊥面DB₁C ，  ∴为所求距离.

又正方体的棱长为2，∴，.

因此，点M到平面DB₁C的距离为 。

（也可由体积相等，求得距离为）

（Ⅲ）连接EO，MO，则EO∥DC，而BC₁⊥DC，∴EO⊥B₁C，

由（Ⅱ）知ME⊥面DB₁C，

∴EO为MO在平面DB₁C内的射影，

由三垂线定理知MO⊥B₁C，

所以∠MOE为二面角M- B₁C-D的平面角.

在Rt△MEO中，EO=DC=1，ME=，

∴.

所以，二面角M- B₁C-D的大小为.