Question

已知关于x的不等式ax²-3x+6＞0的解集为{x|b＜x＜1}
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）解 关于x的不等式：ax²-（ac+b）x+bc＞0，其中c∈R．

Answer 1

分析：（Ⅰ）不等式ax²-3x+6＞0的解集为{x|b＜x＜1}，说明方程ax²-3x+6=0的两个根为1和b，利用根与系数的关系求出a和b；
（Ⅱ）把a与b的值代入不等式：ax²-（ac+b）x+bc＞0，对其进行因式分解，分类进行讨论，从而求出不等式的解集；

解答：解：（Ⅰ）∵不等式ax²-3x+6＞0的解集为{x|b＜x＜1}，
∴ax²-3x+6=0的两个根为1和b
把x=1代人方程a-3+6=0得a=-3，-3x²-3x+6=0即（x-1）（x+2）=0的两个根为1和-2，
∴b=-2
（Ⅱ）∵ax²-（ac+b）x+bc＞0，代入a=-3，b=-2，
∵3x²+（3c+2）x+2c＜0，
∴（x+

2

3

）（x+c）＜0
若-c＞-

2

3

即c＜

2

3

，可得不等式的解集为：{x|-

2

3

＜x＜-c}；
若-c＜-

2

3

即c＞

2

3

，可得不等式的解集为：{x|-c＜x＜-

2

3

}；

点评：此题主要考查一元二次不等式的解法，以及方程根与系数关系，解题的过程中用到了分类讨论的思想，此题是一道基础题；