Question

 (满分14分) 如图，已知椭圆:的离心率为，左、右焦点分别为和，椭圆与轴的两交点分别为A、B，点P是椭圆上一点（不与点A、B重合），且∠APB=，∠F₁PF₂.

（1）若，三角形F₁PF₂的面积

      为，求椭圆的方程；

（2）当点在椭圆上运动时，试证明

      是定值.

Answer 1

(满分14分) 解：（Ⅰ）由于三角形F₁PF₂为直角三角形，

则，

即，            

三角形F₁PF₂的面积为，

∴ ，即，            

，即，

∴.                                              --------3分

椭圆C的离心率为，则，即，

∴.

∴椭圆的方程为．                            --------6分

（Ⅱ）不妨设点在第一象限，则在三角形中，

，

，

即，

∴.

.  

，

∴，即.                         --------9分 

作轴，垂足为. 

，，  

∴.

，  

∴---------------------------------------14分