Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2，且a_n+1=2-

1

an

，n∈N^*．
（1）设b_n=

1

an-1

，求证：{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设c_n=a_n+

1

an

，求证：2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+1，n∈N^*．

Answer 1

分析：（1）由a₁=2，且a_n+1=2-

1

an

，n∈N^*，知an=

n+1

n

．由b_n=

1

an-1

，知b_n+1-b_n=

1

an+1-1

-

1

an-1

=

1

1- 1 an

-

1

1- 1 an-1

=1，故数列{b_n}是等差数列．
（2））a₁=2，且a_n+1=2-

1

an

，n∈N^*．知a₂=2-

1

2

=

3

2

，a3=2-

2

3

=

4

3

，a4=1-

3

4

=

5

4

，…猜想an=

n+1

n

．用数学归纳法进行证明，得到an=

n+1

n

．
（3）由c_n=a_n+

1

an

，an=

n+1

n

，知cn=

n+1

n

+

n

n+1

= 2+

1

n

 -

1

n+1

，故c₁+c₂+…+c_n=2n+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=2n+1-

1

n+1

2n+

n

n+1

，由此知2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+1，n∈N^*．

解答：解：（1）∵a₁=2，且a_n+1=2-

1

an

，n∈N^*．
∴a₂=2-

1

2

=

3

2

，
a3=2-

2

3

=

4

3

，
a4=1-

3

4

=

5

4

，
…
猜想an=

n+1

n

．
用数学归纳法进行证明：
①a1=

2

1

=2，成立．
②假设n=k时，成立，即ak=

k+1

k

，
则当n=k+1时，ak+1=2-

1

ak

=2-

k

k+1

=

k+2

k+1

，成立．
由①②知，an=

n+1

n

．
∵b_n=

1

an-1

，
∴b_n+1-b_n=

1

an+1-1

-

1

an-1

=

1

1- 1 an

-

1

1- 1 an-1

=

1

1- n n+1

-

1

1- n-1 n

=（n+1）-n=1，
∴数列{b_n}是等差数列．
（2））∵a₁=2，且a_n+1=2-

1

an

，n∈N^*．
∴a₂=2-

1

2

=

3

2

，
a3=2-

2

3

=

4

3

，
a4=1-

3

4

=

5

4

，
…
猜想an=

n+1

n

．
用数学归纳法进行证明：
①a1=

2

1

=2，成立．
②假设n=k时，成立，即ak=

k+1

k

，
则当n=k+1时，ak+1=2-

1

ak

=2-

k

k+1

=

k+2

k+1

，成立．
由①②知，an=

n+1

n

．
（3）∵c_n=a_n+

1

an

，an=

n+1

n

，
∴cn=

n+1

n

+

n

n+1

= 2+

1

n

 -

1

n+1

，
∴c₁+c₂+…+c_n=2n+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=2n+1-

1

n+1

＜2n+1．
∵c₁+c₂+…+c_n=2n+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=2n+1-

1

n+1

=2n+

n

n+1

＞2n．
∴2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+1，n∈N^*．

点评：本题考查等差数列的证明，通项公式的求法和前n项和的证明，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．