Question

13．向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=3，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|最小值为（　　）

• A． 3+$\sqrt{3}$
• B． 3-$\sqrt{3}$
• C． 3+$\sqrt{7}$
• D． 3-$\sqrt{7}$

Answer 1

分析 通过作向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$即可看出当$\overrightarrow{c}$和$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$方向相反时，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|$最小，根据条件可求|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|，从而可求出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|$的最小值．

解答 解：如图，将向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$移到同一起点，当$\overrightarrow{c}$和$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$反向时|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|最小；
根据条件：$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}=\sqrt{1+4+2}=\sqrt{7}$；
又$|\overrightarrow{c}|=3$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|$的最小值为3-$\sqrt{7}$．
故选D．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，三角形的两边之差小于第三边，以及向量长度的求法|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$，数量积的运算．