Question

20．设函数f（x）=|x-1|+|x-a|．
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3
（2）如果?x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=-1，由绝对值的意义求得不等式f（x）≥3的解集．
（2）由条件利用绝对值的意义求得函数f（x）的最小值为|a-1|，可得|a-1|=2，由此求得a的值．

解答 解：（1）若a=-1，函数f（x）=|x-1|+|x-a|=|x-1|+|x+1|，表示数轴上的x对应点到1、-1对应点的距离之和，
而-1.2和 1.5 对应点到1、-1对应点的距离之和正好等于3，
故不等式f（x）≥3的解集为{x|≤-1.5，或 x≥1.5}．
（2）由于?x∈R，f（x）≥2，故函数f（x）的最小值为2．
函数f（x）=|x-1|+|x-a|表示数轴上的x对应点到1、a对应点的距离之和，它的最小值为|a-1|，
即|a-1|=2，求得a=3 或a=-1．

点评 本题主要考查绝对值的意义，函数的恒成立问题，属于中档题．