Question

已知等差数列{a_n}中，若a₂=23，a₅=17，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}前n项和S_n的最大值；
（3）设各项均为正数的等比数列{b_n}的前n项和为T_n．若b₃=a₈-7，T₃=7，求T_n．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₂=23，a₅=17可得关于首项和公差的方程组，解方程组可得其值，代入等差数列的通项公式可得；
（2）由通项公式可知数列的前13项为正数，从第14项开始为负值，由此可得；
（3）由（1）可得a₈，进而可得b₃，代入已知条件可得关于首项和公比的方程组，解此方程组代入等比数列的求和公式可得．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₂=23，a₅=17，得

a1+d=23 a1+4d=17

，
解得

a1═25 d=-2

，
∴a_n=25-2（n-1）=-2n+27
（2）由a_n=27-2n≥0，即n≤13.5，
∴数列的前13项为正数，从第14项开始为负值，
∴数列前13项和最大，由等差数列的求和公式可得
最大值为S₁₃=25×13+

13(13-1)

2

（-2）=169
（3）由（I）知a_n=27-2n，∴a₈=11，
∴b₃=a₈-7=4，
若公比q=1，则T₃=12，∴公比q≠1，
由等比数列的通项公式和求和公式可得

b1•q2=4 b1(1-q3) 1-q =7.

，
解得

q=2 b1=1

，或

q=- 2 3 b1=9

（各项均为正数，故q＞0，故舍去）
∴bn=2n-1，
∴Tn=

1-2n

1-2

=2n-1

点评：本题考查等差数列和等比数列的综合应用，熟练利用公式是解决问题的关键，属中档题．