Question

3．已知函数y=g（x）与f（x）=log_a（x+1）（0＜a＜1）的图象关于原点对称
（Ⅰ）求y=g（x）的解析式；
（Ⅱ）函数F（x）=f（x）+g（x），解不等式F（t²-2t）+F（2t²-1）＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在函数y=f（x）的解析式中，以-x替换x，以-y替换y，则y=g（x）的解析式可求；
（Ⅱ）写出F（x）=f（x）+g（x），求出其定义域，判断出其奇偶性和单调性，利用单调性把不等式F（t²-2t）+F（2t²-1）＜0转化为关于t的不等式组得答案．

解答 解：（Ⅰ）在函数y=log_a（x+1）中，取x=-x，y=-y，得-y=log_a（1-x），
∴y=$lo{g}_{a}\frac{1}{1-x}$，
∵y=g（x）与f（x）=log_a（x+1）（0＜a＜1）的图象关于原点对称，
∴g（x）=$lo{g}_{a}\frac{1}{1-x}$，
（Ⅱ）函数F（x）=f（x）+g（x）=$lo{g}_{a}（x+1）+lo{g}_{a}\frac{1}{1-x}=lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，得-1＜x＜1，∴函数F（x）的定义域为（-1，1），
又F（-x）=$lo{g}_{a}\frac{1-x}{1+x}=lo{g}_{a}（\frac{1+x}{1-x}）^{-1}$=$-lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}$=-F（x），
∴F（x）为奇函数，
y=$\frac{1+x}{1-x}=-\frac{x-1+2}{x-1}=-\frac{2}{x-1}-1$为（-1，1）上的增函数，且0＜a＜1，
∴F（x）为（-1，1）上的减函数，
由F（t²-2t）+F（2t²-1）＜0，得F（t²-2t）＜F（1-2t²），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜{t}^{2}-2t＜1}\\{-1＜1-2{t}^{2}＜1}\\{{t}^{2}-2t＞1-2{t}^{2}}\end{array}\right.$，解得：$1-\sqrt{2}＜t＜-\frac{1}{3}$．
∴不等式F（t²-2t）+F（2t²-1）＜0的解集为$（1-\sqrt{2}，-\frac{1}{3}）$．

点评 本题考查函数的对称性，考查了函数解析式的求法，考查函数奇偶性和单调性的判断，训练了利用函数的单调性求解不等式，属中档题．