题目内容

已知F1，F2为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M(
2
，1)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过左焦点F1的斜率为1直线l与椭圆C交于A、B两点，求AB的长．
分析：（1）由椭圆过定点可知c，把定点坐标代入椭圆方程，和a2=b2+c2联立后求解a2，b2的值，则答案可求；
（2）写出直线方程，和椭圆方程联立后求出两个焦点的坐标，利用两点间的距离公式求距离．
解答：解：（1）由题意可知：c=
2
．
又M(
2
，1)在椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，
∴
2
a2
+
1
b2
=1．
联立
2
a2
+
1
b2
=1
a2=b2+c2
c=
2
，解得
a2=4
b2=1
．
∴椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
2
=1；
（2）由（1）知，左焦点F1(-
2
，0)．
则过左焦点F1的斜率为1直线l的方程为y=x+
2
．
联立
y=x+
2
x2
4
+
y2
2
=1
，得
x1=0
y1=
2
，
x2=-
4
3
2
y2=-
2
3
．
∴|AB|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
(-
4
2
3
)2+(
2
+
2
3
)2
=
8
3
．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了利用两点间的距离公式求距离，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知F1，F2为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率e=
3
2
，则椭圆的方程为（　　）
A、
x2
4
+
y2
3
=1
B、
x2
16
+
y2
3
=1
C、
x2
16
+
y2
4
=1
D、
x2
16
+
y2
12
=1
已知F1，F2为椭圆E的两个左右焦点，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆离心率e满足|PF1|=e|PF2|，则e的值为
 
．
已知F1、F2为椭圆
x2
25
+
y2
9
=1的两个焦点，点P是椭圆上的一个动点，则|PF1|•|PF2|的最小值是
9
9
．
已知F1、F2为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦点，B为椭圆短轴的一个端点，
BF1
•
BF2
≥
1
2
F1F2
2则椭圆的离心率的取值范围是
（0，
1
2
]
（0，
1
2
]
．
（2009•荆州模拟）已知F1、F2为椭圆C：
x2
m+1
+
y2
m
=1的两个焦点，P为椭圆上的动点，则△F1PF2面积的最大值为2，则椭圆的离心率e为（　　）

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