题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（I）求f（x）的单调递增区间；
（II）a为何值时，函数f（x）在区间 $数学公式$ 上有零点．

解：（I）f′（x）= $\text{[math]}$
令f′（x）＞0?ax²-2x+1＞0
①若a=0，则 $\text{[math]}$ ，f（x）的递增区间是 $\text{[math]}$ ；
②若a＜0，则△=4-4a＞0
方程ax²-2x+1=0的两根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 时，＞0
∴f（x）的递增区间是 $\text{[math]}$
③若a＞0且△=4-4a＞0，即0＜a＜1时，
方程ax²-2x+1=0的两根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
此时f（x）的递增区间为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$
④若a＞0且△=4-4a≤0即a≥1时f'（x）≥0
此时的递增区间为（0，+∞）．
（II）问题等价于方程f（x）=0在 $\text{[math]}$ 上有实根，
而f（x）=0? $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
再令?（x）=x-xlnx-1，则?'（x）=-lnx
当0＜x＜1时，?'（x）＞0，?（x）↗，当x＞1时，?'（x）＜0，?（x）↘
∴当x=1时，?（x）取得唯一的极大值也是?（x）的最大值（?（x））_max=?（1）=0
∴当x∈（0，+∞）时，g'（x）≤0∴g（x）在（0，+∞）上单调递减
∴当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
故当 $\text{[math]}$ 时，函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上有零点．
分析：（I）求导，令导数大于零，对a分情况讨论，根据△的符号，即可求得结论；
（II）函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上有零点等价于方程f（x）=0在 $\text{[math]}$ 上有实根，分离参数得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，转化为求函数的最值问题，即可求得结论．
点评：掌握导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题．考查了计算能力和分析解决问题的能力，体现了分类讨论和转化的数学思想．