Question

函数f（x）=x³，在等差数列{a_n}中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，记Sn=f(

3	an+1

)，令b_n=a_nS_n，数列{b_n}的前n项和为T_n
（1）求{a_n}的通项公式和S_n
（2）求证Tn＜

1

3

．

Answer 1

分析：（1）设数列{a_n}的公差为d，利用a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，建立方程，从而可求数列的首项与公差，进而可得数列的通项，利用f（x）=x³，可得S_n；
（2）求出数列{b_n}的通项，利用裂项法求和，即可证得结论．

解答：（1）解：设数列{a_n}的公差为d，
∵a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，
∴a₁+2d=7，3a₁+3d=12
解得a₁=1，d=3，∴a_n=3n-2
∵f（x）=x³
∴Sn=f(

3	an+1

)=a_n+1=3n+1             （6分）
（2）证明：∵b_n=a_nS_n=（3n-2）（3n+1）
∴

1

bn

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)Tn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1

3

(1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+…+

1

3n-2

-

1

3n+1

)
∴Tn=

1

3

(1-

1

3n+1

)＜

1

3

（12分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查基本量法的运用，考查裂项法求和，属于中档题．