Question

设．

（1）若，求最大值；

（2）已知正数，满足.求证：；

（3）已知，正数满足.证明:．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先求函数的定义域，利用分式的求导法则求，令，分别求函数的增区间与减区间，可求得函数的极大值，从而求得函数的最大值；

（2）构造函数，利用导数法证明在在上递增，在上递减.由于函数的极大值为，时，

由,得出，

从而证明结论成立. 

（3）由数学归纳法证明.用数学归纳法证明的一般步骤是(1)证明当时命题成立；(2)假设当且时命题成立，证明当时命题成立. 由(1)，(2)可知，命题对一切正整数都成立. 一般的与正整数有关的等式、不等式可考虑用数学归纳法证明.

试题解析：（1），

时，，当时，，

即在上递增，在递减.故时，

有.                    4分

（2）构造函数，

则

易证在在上递增，在上递减.

时，有.

,即，

即证.                            8分

（3）利用数学归纳法证明如下：

当时，命题显然成立；

假设当时，命题成立，即当时，

.

则当，即当时，

，

又假设

，

即

=.

这说明当时，命题也成立.

综上①②知，当，正数满足.                    14分

考点：导数法求函数的单调性、极值、最值，数学归纳法.