Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f(x)=

1

2

x，则使f(x)=-

1

2

的x的值是（　　）

A．2n（n∈Z）

B．2n-1（n∈Z）

C．4n+1（n∈Z）

D．4n-1（n∈Z）

Answer 1

分析：根据f（x）是奇函数且f（x+2）=-f（x）求出函数的周期，以及-1≤x≤0时的解析式，然后求出在[-1，1]上满足方程f（x）=-

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2

的解，最后根据周期性即可选得答案．

解答：解：∵f（x）是奇函数且f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）
∴函数f（x）的周期T=4．
∵当0≤x≤1时，f（x）=

1

2

x，又f（x）是奇函数，
∴当-1≤x≤0时，f（x）=

1

2

x，
令

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2

x=-

1

2

解得：x=-1
而函数f（x）是以4为周期的周期函数，
∴方程f（x）=-

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2

的x的值是：x=4k-1，k∈Z．
故选D．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和递推关系，利用函数的奇偶性和周期性结合来转化是关键，属于中档题．