Question

如图，一架飞机原计划从空中A处直飞相距680km的空中B处，为避开直飞途中的雷雨云层，飞机在A处沿与原飞行方向成θ角的方向飞行，在中途C处转向与原方向线成45°角的方向直飞到达B处．已sinθ=

5

13

（1）在飞行路径△ABC中，求tanC；
（2）求新的飞行路程比原路程多多少km．
（参考数据：

2

=1.414，

3

=1.732）

Answer 1

分析：（1）由θ角的正弦由平方关系得θ角余弦，进而得θ角正切，由三角形内角和得角C与θ角的关系，由诱导公式和两角和的正切公式得tanC；
（2）由三角形内角和得角C与θ角的关系，由诱导公式和两角和的正弦公式得sinC，由正弦定理得AC、BC的长度，进而得出要求的量．

解答：（1）sinθ=

5

13

，θ是锐角，所以tanθ=

5

12

（1分），
tanC=tan[π-（θ+45⁰）]=-tan（θ+45⁰）（2分），
=-

tanθ+tan450

1-tanθ•tan450

（4分），
=-

5 12 +1

1- 5 12 ×1

=-

17

7

（5分）．
（2）sinC=sin(θ+450)=

17 2

26

（7分），
由正弦定理

AB

sinC

=

AC

sin450

=

BC

sinθ

（9分），
得AC=

AB

sinC

×sin450=520（11分），
BC=200

2

（13分），
新的飞行路程比原路程多AC+BC-AB=520+200

2

-680=122.8(km)（14分）．

点评：本题考查解三角形的实际应用，做这类是需要仔细观察，要求的量与已知的量有什么样的关系，一一破解；
本题用到的知识点有诱导公式，两角和公式，正弦定理，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边．