Question

已知函数，
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）若关于x的方程f（x）=log₂（x-k）有实根，求实数k的取值范围；
（3）问：方程f（x）=x+1是否有实根？如果有，设为x₀，请求出一个长度为的区间（a，b），使x₀∈（a，b）；如果没有，请说明理由。
（注：区间（a，b）的长度为b-a）

Answer 1

解：（1）由，得-1＜x＜1，
所以函数f（x）的定义域为（-1，1）；
因为f（-x）+f（x）=log₂+log₂=log₂=log₂1=0，
所以f（-x）=-f（x），
即f（x）是奇函数；
（2）方程f（x）=log₂（x-k）有实根，
也就是方程=x-k，即k=x-在（-1，1）内有解，
所以实数k属于函数y=x-=x+1-在（-1，1）内的值域。
令x+1=t，则t∈（0，2），
因为y=t-在（0，2）内单调递增，
所以t-∈（-∞，1），
故实数k的取值范围是（-∞，1）；
（3）设g（x）=f（x）-x-1=log₂-x-1（-1＜x＜1），
用“二分法”逐步探求，先算区间（-1，1）的中点g（0）=-1＜0；
由于g（x）在（-1，1）内单调递减，
于是再算区间（-1，0）的中点g（-）=log₂3-＞0；
然后算区间（-，0）的中点 g（-）＜0；
最后算区间（-，-）的中点g（-）＞0，
所以g（-）·g（-）＜0，
所以函数g（x）在区间（-，-）内有零点x₀，
即方程f（x）=x+1在（-，-）内有实根x₀，
又该区间长度为，
因此，所求的一个区间可以是（-，-）。
（答案不唯一）