Question

如图，已知DE⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，且F是CD的中点．
（1）求证：AF∥平面 BCE；
（2）求证：平面 BCE⊥平面 CDE．
（3）求V_C-ABF：V_C-ABED的值．

Answer 1

分析：（1）取CE中点P，连结FP、BP证明AF∥BP，利用直线与平面平行的判定定理证明AF∥平面 BCE；
（2）通过证明BP⊥平面CDE，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面 BCE⊥平面 CDE．
（3）利用转化思想V_C-ABF=V_B-ACF求出几何体的体积，然后求出V_C-ABED的值，即可得到比值．

解答：（本小题满分14分）
解：（1）证明：取CE中点P，连结FP、BP，
∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=

1

2

DE．…（2分）
又AB∥DE，且AB=

1

2

DE．∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，∴AF∥平面BCE．…（4分）
（2）证明：∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，
∴DE⊥AF
又AF⊥CD，CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE．…（7分）
又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．                                   …（8分）
又∵BP?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE．…（9分）
（3）∵DE∥ABDE⊥平面ACD∴AB⊥平面 ACD∴AB是三棱锥B-ACF的高，
V_C-ABF=V_B-ACF=

1

3

S△ACF•AB=

1

3

•

1

2

•

1

2

•2•2•sin

π

3

•1=

3

6

…（11分）
取AD中点Q，连结CQ
∵DE⊥平面 ACD，DE?平面ABED，∴平面ACD⊥平面ABED，
∵△ACD为正三角形，∴CQ⊥AD，
平面ACD∩平面ABED=AD            CQ?平面 ACD，
∴CQ⊥平面ABED，∴CQ是四棱锥C-ABED的高      …（12分）
V_C-ABED=

1

3

S梯形ABED•CQ=

1

3

•

(1+2)

2

•2•

3

=

3

…（13分）
故V_C-ABF：V_C-ABED=

1

6

…（14分）

点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及面面垂直的判定，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于中档题．