Question

（2012•青岛二模）以下正确命题的个数为（　　）
①命题“存在x∈R，x²-x-2≥0”的否定是：“不存在x∈R，x²-x-2＜0”；
②函数f(x)=x

1

3

-(

1

2

)x的零点在区间(

1

3

，

1

2

)内； 
③函数f（x）=e^-x-e^x的图象的切线的斜率的最大值是-2；
④线性回归直线

y

=

b

x+

a

恒过样本中心(

.

x

，

.

y

)，且至少过一个样本点．

A．3

B．1

C．0

D．2

Answer 1

分析：存在x∈R，在其否定中应写为?x∈R，x²-x-2≥0的否定为x²-x-2＜0；由f（

1

3

）和f（

1

2

）的乘积符号小于0，可知函数f(x)=x

1

3

-(

1

2

)x的零点在区间(

1

3

，

1

2

)内；命题③先求出函数f（x）的导函数，然后借助于不等式求出导函数的最大值为-2；回归直线方程的求解过程中，用到a=

.

y

-b

.

x

，说明回归直线一定经过样本中心点．

解答：解：命题“存在x∈R，x²-x-2≥0”的否定为“任意的x∈R，x²-x-2＜0”，所以命题①不正确；
对于函数f(x)=x

1

3

-(

1

2

)x，因为f(

1

3

)=(

1

3

)

1

3

-(

1

2

)

1

3

＜0，f(

1

2

)=(

1

2

)

1

3

-(

1

2

)

1

2

＞0，所以函数的零点在区间(

1

3

，

1

2

)，所以命题②正确；
函数f（x）=e^-x-e^x的导数为f′(x)=-e-x-ex=-(ex+

1

ex

)≤-2，当且仅当ex=

1

ex

，即e^x=1，x=0时取等号，所以命题③正确；
线性回归直线

y

=

b

x+

a

恒过样本中心点(

.

x

，

.

y

)，但不一定过样本点，所以命题④不正确．
综上正确的为②③，有2个．
故选D．

点评：判断命题的真假，看由条件能否推出结论，若能，则该命题为真命题，否则为假，有时直接判断原命题困难时，可判其逆否命题的真假，因为一个命题与其逆否命题共真假．