Question

若对一切θ∈R，复数z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i的模不超过2，则实数a的取值范围为（　　）

• A、[-

  5

  5

  ，

  5

  5

  ]
• B、[-

  3

  5

  ，

  3

  5

  ]
• C、[-

  5

  3

  ，

  5

  3

  ]
• D、（-

  5

  5

  ，

  5

  5

  ）

Answer 1

分析：首先写出复数的模长的表示式，使得模长不大于2，两边平方，根据三角函数恒等变形，整理出最简形式，根据对于一切角度属于实数都成立，只要大于最大值就可以，解出关于a的不等式即可．

解答：解：∵复数z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）
∴|z|=

(a+cosθ)2+(2a-sinθ)2

=

2acosθ-4asinθ+5a2+1

≤2，
∴2acosθ-4asinθ+5a²≤3对一切θ∈R都成立，
∴2a（cosθ-2sinθ）≤3-5a²都成立，
∴2a

5

cos（θ+α）≤3-5a²恒成立，
∴2

5

|a|≤3-5a²
∴|a|≤

5

5

，
∴a的取值范围是[-

5

5

，

5

5

]
故选A．

点评：本题考查复数求模，考查不等式的求解，考查三角函数辅角公式的应用，考查函数的恒成立思想，本题是一个综合题目