Question

若关于x的不等式|cos2x|≥asinx在闭区间[-

π

3

，

π

6

]上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A．[-

  1

  2

  ，1]
• B．[-1，0]
• C．[-

  3

  2

  ，0]
• D．[0，1]

Answer 1

分析：设sinx=t，则：|2t²-1|≥at，其中t∈[-

3

2

，

1

2

]．作出f（x）=|2x²-1|以及函数g（x）=ax在区间[-

3

2

，

1

2

]上的图象，此题就是f（x）≥g（x），数形结合可得实数a的取值范围．

解答：解：∵关于x的不等式|cos2x|≥asinx在闭区间[-

π

3

，

π

6

]上恒成立，故|1-2sin²x|≥asinx在闭区间[-

π

3

，

π

6

]上恒成立．
设sinx=t，则：|2t²-1|≥at，其中t∈[-

3

2

，

1

2

]．
作出f（x）=|2x²-1|在区间[-

3

2

，

1

2

]上的图象，再作出g（x）=ax在区间[-

3

2

，

1

2

]上的图象，此题就是f（x）≥g（x），
其中x∈[-

3

2

，

1

2

]，结合图象可得：a∈[0，1]，
故选D．

点评：本题考查同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．