Question

设函数f（x）=x²-alnx与g(x)=

1

a

x-

x

的图象分别交直线x=1于点A，B，且曲线y=f（x）在点A处的切线与曲线y=g（x）在点B处的切线平行（斜率相等）．
（1）求函数f（x），g（x）的表达式；
（2）当a＞1时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的最小值；
（3）当a＜1时，不等式f（x）≥m•g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）由f（x）=x²-alnx，得f′(x)=

2x2-a

x

，所以f^′（1）=2-a．
由g(x)=

1

a

x-

x

，得g′(x)=

2 x -a

2a x

，所以g′(1)=

2-a

2a

．
又由题意可得f'（1）=g'（1），
即2-a=

2-a

2a

，故a=2，或a=

1

2

．
所以当a=2时，f（x）=x²-2lnx，g(x)=

1

2

x-

x

；
当a=

1

2

时，f(x)=x2-

1

2

lnx，g(x)=2x-

x

．
（2）当a＞1时，a=2，h(x)=f(x)-g(x)=x2-2lnx-

1

2

x+

x

，
函数h（x）的定义域为（0，+∞）．
h′(x)=2x-

2

x

-

1

2

+

1

2 x

=

2(x-1)(x+1)

x

-

x -1

2 x

=(

x

-1)[

4(x x + x +x+1)- x

2x

]．
由x＞0，得

4(x x + x +x+1)- x

2x

＞0，
故当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）递减，
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）递增，
所以函数h（x）在（0，+∞）上的最小值为h(1)=1-2ln1-

1

2

+1=

3

2

．
（3）因为a＜1，所以a=

1

2

，此时f(x)=x2-

1

2

lnx，g(x)=2x-

x

，
当x∈[

1

4

，

1

2

)时，由f(x)=x2-

1

2

lnx，得f′(x)=2x-

1

2x

=

4x2-1

2x

＜0，
f（x）在[

1

4

，

1

2

]上为减函数，f(x)≥f(

1

2

)=

1

4

+

1

2

ln2＞0．
当x∈[

1

4

，

1

2

)时，由g(x)=2x-

x

，得g′(x)=2-

1

2 x

=

4 x -1

2 x

＞0，
g（x）在[

1

4

，

1

2

]上为增函数，g(x)≤g(

1

2

)=1-

2

2

，且g(x)≥g(

1

4

)=0．
要使不等式f（x）≥m•g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上恒成立，当x=

1

4

时，m为任意实数；
当x∈(

1

4

，

1

2

]时，不等式f（x）≥m•g（x）化为m≤

f(x)

g(x)

，
而[

f(x)

g(x)

]min=

f( 1 2 )

g( 1 2 )

=

(2+ 2 )

4

ln(4e)．
所以m≤

(2+ 2 )

4

ln(4e)．
所以当a＜1时，不等式f（x）≥m•g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上恒成立的实数m的取值范围为(-∞，

(2+ 2 )

4

ln(4e)]．