题目内容
已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．
（1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若f（x）=2f′（x），求
的值．
（1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若f（x）=2f′（x），求
| 1+sin2x | cos2x-sinxcosx |
分析：（1）先求出原函数的导函数，然后代入F（x）的解析式化简，化简后由周期公式求周期，由复合函数单调性求单调增区间；
（2）根据f（x）=2f′（x），可以求出tanx的值，把要求值的分式弦化切，则结果可求．
（2）根据f（x）=2f′（x），可以求出tanx的值，把要求值的分式弦化切，则结果可求．
解答：解：（1）因为f（x）=sinx+cosx，所以f'（x）=cosx-sinx，
所以F(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)+(sinx+cosx)2=cos2x+1+sin2x=
sin(2x+
)+1，
所以T=π；
由2x+
∈[2kπ-
，2kπ+
](k∈Z)，得x∈[kπ-
π，kπ+
]（k∈Z）
单调递增区间为[kπ-
π，kπ+
]（k∈Z）．
（2）由f（x）=2f′（x），得：sinx+cosx=2cosx-2sinx，即tanx=
所以
=
=
=
．
所以F(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)+(sinx+cosx)2=cos2x+1+sin2x=
| 2 |
| π |
| 4 |
所以T=π；
由2x+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| π |
| 8 |
单调递增区间为[kπ-
| 3 |
| 8 |
| π |
| 8 |
（2）由f（x）=2f′（x），得：sinx+cosx=2cosx-2sinx，即tanx=
| 1 |
| 3 |
所以
| 1+sin2x |
| cos2x-sinxcosx |
| 2sin2x+cos2x |
| cos2x-sinxcosx |
| 2tan2x+1 |
| 1-tanx |
| 11 |
| 6 |
点评：本题考查了导数的运算法则，三角函数中的恒等变换应用及复合函数的单调性，复合函数的单调性遵循同增异减原则，三角函数的化简与求值，是齐次式的一般是采用弦化切．
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