Question

已知函数f（x）=2sin（π-x）cosx-2sin²x
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和与差的正弦函数，可将f（x）化简为f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）-1，从而可求其最小正周期；
（Ⅱ）由-

π

4

≤x≤

π

4

⇒-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，利用正弦函数的单调性可求得sin（2x+

π

4

）的取值范围，进一步可得f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上的最大值与最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π-x）cosx-2sin²x
=2sinxcosx-（1-cos2x）
=sin2x+cos2x-1
=

2

sin（2x+

π

4

）-1，
∴函数f（x）的最小正周期为π．
（Ⅱ）由-

π

4

≤x≤

π

4

得：-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，
∴-

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1，
∴-2≤

2

sin（2x+

π

4

）-1≤

2

-1，
∴f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上的最大值为

2

-1，最小值为-2．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查二倍角的正弦与余弦，考查辅助角公式的应用，突出正弦函数单调性的考查，属于中档题．