Question

如图，在直三棱柱中，平面 侧面且.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若直线AC与平面所成的角为,求锐二面角的大小.

 

Answer 1

（Ⅰ）详见解析;（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取 的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面，从而，由线面垂直得．由此能证明．（Ⅱ）方法一：连接CD，由已知条件得即为直线与平面所成的角，即为二面角的一个平面角，由此能求出二面角的大小．解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，， ，求出平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则得，解得，即，求出平面的一个法向量为，设锐二面角的大小为，则，且， 即可求出锐二面角的大小.

试题解析：解（1）证明：如图，

取的中点，连接，因，则

由平面侧面，且平面侧面，

得，又平面， 所以.

因为三棱柱是直三棱柱，则，所以.

又，从而侧面 ，又侧面，故. -------6分

解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影

∴ 即为直线与所成的角，则 在等腰直角中，，且点是中点，∴ ，且，

∴

过点A作于点，连，由（1）知，则，且

∴ 即为二面角的一个平面角且直角中：，又， ∴ ，

且二面角为锐二面角 ∴ ，即二面角的大小为 ----12分

解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则，，，，，，，

设平面的一个法向量，由， 得：

令 ，得 ，则

设直线与所成的角为，则

得，解得，即

又设平面的一个法向量为，同理可得，设锐二面角的大小为，则

，且，得

∴ 锐二面角的大小为.

考点：1.用空间向量求平面间的夹角；2.空间中直线与直线之间的位置关系．