Question

已知椭圆的左焦点F₁，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，若则椭圆的离心率为    ．

Answer 1

【答案】分析：法一：由题设条件及，可知PQ平行于x轴，且P点的横坐标为，又知Q点在∠PF₁O角平分线上，从而得出四边形PF₁F₂Q是一个菱形，从而得出P_F1=2c，PF₂=2a-2c，再由椭圆的第二定义建立等式解出离心率的值；
法二：由题设条件及，可知PQ平行于x轴，且P点的横坐标为，又知Q点在∠PF₁O角平分线上由此，可用正切的2倍角公式建立方程求e
解答：解法一：∵椭圆的左焦点F₁，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，，∴PQ平行于x轴，且P点的横坐标为，
又知Q点在∠PF₁O角平分线上，故有∠PF₁O=2∠QF₁O
由于PQF₁F₂，故四边形PF₁F₂Q是一个平行四边形，结合对角线是角平分线知，四边形PF₁F₂Q是菱形，可得P_F1=2c
由此得PF₂=2a-2c
由椭圆的第二定义知=，解得e=
故答案为
解法二：∵椭圆的左焦点F₁，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，，∴PQ平行于x轴，且P点的横坐标为，
又知Q点在∠PF₁O角平分线上，故有∠PF₁O=2∠QF₁O
令P（，y），Q（，y），故=，
又tan∠PF₁O=tan2∠QF₁O=，即①
又由及a²=b²+c²，P（，y），解得代入①整理得
e=
故答案为e=
点评：本题是一道向量与椭圆相结合的题目，由向量的相关性质得到几何中的位置关系以及数量关系，再由几何中的相关公式进行变形运算，求得离心率，从解题过程中可以看到，本题的求解过程就是寻求关于a，c之间关系的一个过程．本题运算变形较繁，运算量过大，故答案不易做对．