Question

【题目】设m为整数，.整数数列满足：不全为零，且对任意正整数n，均有.证明：若存在整数r、s(r>s≥2)使得，则.

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】

首先假设互素，根据题目所给递推关系得到，然后利用数学归纳法证得对任意整数n≥3，有成立，通过证明成立，得到，从而证得结论成立.

不妨设互素(否则，若，则与互素，并且用代替条件与结论均不改变).

由数列递推关系知①

以下证明：对任意整数n≥3，有②

事实上，当n=3时②显然成立.假设n=k时②成立(其中k为某个大于2的整数)，注意到①，有，结合归纳假设知

，

即n=k+1时②也成立.因此②对任意整数n≥3均成立.

注意，当时，②对n=2也成立.

设整数r、s(r>s≥2)，满足.

若，由②对n≥2均成立，可知

，

即，即③

若，则，故r>s≥3.

此时由于②对n≥3均成立，故类似可知③仍成立.

再证明a2，m互素：

事实上，假如a2与m存在一个公共素因子p，则由①得p为的公因子，而互素，故，这与矛盾.

因此，由③得.又r>s，所以.