Question

等比数列{a_n}中，a₁，a₂，a₃分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列．

	第一列	第二列	第三列
第一行	3	2	10
第二行	6	4	14
第三行	9	8	18

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：b_n=a_n+（-1）ⁿlna_n，求数列{b_n}的前2n项和S_2n．

Answer 1

分析：本题考查的是数列求和问题．在解答时：
（Ⅰ）此问首先要结合所给列表充分讨论符合要求的所有情况，根据符合的情况进一步分析公比进而求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）首先要利用第（Ⅰ）问的结果对数列数列{b_n}的通项进行化简，然后结合通项的特点，利用分组法进行数列{b_n}的前2n项和的求解．

解答：解：（Ⅰ）当a₁=3时，不符合题意；
当a₁=2时，当且仅当a₂=6，a₃=18时符合题意；
当a₁=10时，不符合题意；
所以a₁=2，a₂=6，a₃=18，
∴公比为q=3，
故：a_n=2•3^n-1，n∈N*．
（Ⅱ）∵b_n=a_n+（-1）ⁿlna_n
=2•3^n-1+（-1）ⁿln（2•3^n-1）
=2•3^n-1+（-1）ⁿ[ln2+（n-1）ln3]
=2•3^n-1+（-1）ⁿ（ln2-ln3）+（-1）ⁿnln3
∴S_2n=b₁+b₂+…+b_2n
=2（1+3+…+3^2n-1）+[-1+1-1+…+（-1）²ⁿ]•（ln2-ln3）+[-1+2-3+…+（-1）²ⁿ2n]ln3
=2×

1-32n

1-3

+nln3
=3²ⁿ+nln3-1
∴数列{b_n}的前2n项和S_2n=3²ⁿ+nln3-1．

点评：本题考查的是数列求和问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、分组求和的方法、等比数列通项的求法以及运算能力．值得同学们体会和反思．