Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0且ω＞0，0＜φ＜

π

2

的部分图象，如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=a在（0，

5π

3

）上有两个不同的实根，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数的最大值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而求得函数的解析式．
（2）若方程f（x）=a在（0，

5π

3

）上有两个不同的实根，则直线y=2和函数f（x）的图象在（0，

5π

3

）上有两个不同的交点，数形结合可得a的范围．

解答：解：（1）由函数的图象可得A=1，再由

1

4

•

2π

ω

=

7π

6

-

2π

3

，可得ω=1．
再由五点法作图可得1×（-

π

3

）+φ=0，∴φ=

π

3

，故函数的解析式为 f（x）=sin（x+

π

3

）．
（2）若方程f（x）=a在（0，

5π

3

）上有两个不同的实根，
则直线y=2和函数f（x）的图象在（0，

5π

3

）上有两个不同的交点，如图所示：
故a的取值范围为（

3

2

，1）∪（-1，0）．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．