Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁=2，D为AB的中点，且CD⊥DA₁．
①求证：BB₁⊥平面ABC；
②求多面体DBC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析：①证明CD⊥BB₁，通过BB₁⊥AB，AB∩CD=D，即可证明BB₁⊥面ABC．
②利用多面体V多面体DBC_A_1B1C1=V棱柱ABC-A1B1C1-V棱锥A1-ADC，然后求出几何体的体积即可．

解答：（本题满分14分）
解：①∵AC=BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，又CD⊥DA₁，∴CD⊥面AA₁B₁B，∴CD⊥BB₁，
又BB₁⊥AB，AB∩CD=D，∴BB₁⊥面ABC．
②多面体V多面体DBC_A_1B1C1=V棱柱ABC-A1B1C1-V棱锥A1-ADC
=S△ABC•|AA1|-

1

3

S△ADC•|AA1|
=S△ABC•|AA1|-

1

3

×

1

2

S△ABC•|AA1|
=

5

6

S△ABC•|AA1|=

10

3

．

点评：本题考查线线垂直，线面垂直及多面体的体积的求法技巧，转化思想的应用，考查计算能力．