Question

数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）令bn=

3

Sn+3n+9

，数列{b_n} 的前n项和为T_n，求证：Tn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）由递推公式a_n=s_n-s_n-1（n≥2），a₁=s₁求解．
（2）由S_n=2（3•2ⁿ-3）-3n=3•2ⁿ⁺¹-3n-6，知S_n+3n+9=3（2ⁿ⁺¹+1），所以bn=

1

2n+1+1

＜

1

2n+1

，再由放缩法证明Tn＜

1

2

．

解答：解：（1）a₁=S₁=2a₁-3，
∴a₁=3，a_n+3=（a₁+3）•2^n-1，
∴a_n=3.2ⁿ-3（n∈N^*）．
（2）S_n=2（3•2ⁿ-3）-3n=3•2ⁿ⁺¹-3n-6，
∴S_n+3n+9=3（2ⁿ⁺¹+1），
∴bn=

1

2n+1+1

＜

1

2n+1

，
Tn=

1

22

+

1

23

+…+

1

2n+1

=

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

1

2

-

1

2n+1

＜

1

2

．

点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，合理地运用放缩法进行证明．注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．