Question

已知几何体A-BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（1）求此几何体的体积V的大小；
（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；
（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，则体积可以求得．
（2）求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．
（3）假设存在这样的点Q，使得AQ⊥BQ．
解法一：通过假设的推断、计算可知以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．
解法二：在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．这种解法的好处就是：1、解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．2、即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0），使得

EQ

=λ

QD

，解得λ=4，∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，

16

5

，

8

5

）．

解答：解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，
∴S_梯形BCED=

1

2

×（4+1）×4=10
∴V=

1

3

•S_梯形BCED•AC=

1

3

×10×4=

40

3

．
即该几何体的体积V为16．（3分）

（2）解法1：过点B作BF∥ED交EC于F，连接AF，
则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．（5分）
在△BAF中，
∵AB=4

2

，
BF=AF=

16+9

=5．
∴cos∠ABF=

BF2+AB2-AF2

2BF•AB

=

2 2

5

．
即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为

2 2

5

．（7分）
解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）
∴

DE

=（0，-4，3），

AB

=（-4，4，0），
∴cos＜

DE

，

AB

＞=-

2 2

5

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为

2 2

5

．

（3）解法1：在DE上存在点Q，使得AQ⊥BQ．（8分）
取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，则点Q满足题设．（10分）
连接EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中
∵

EC

CO

=

OB

OD

=2
∴Rt△ECO∽Rt△OBD
∴∠EOC=∠OBD
∵∠EOC+∠CEO=90°
∴∠EOC+∠DOB=90°
∴∠EOB=90°．（11分）
∵OE=

CE2+CO2

=2

5

，OD=

OB2+BD2

=

5

∴OQ=

OE•OD

ED

=

2 5 • 5

5

=2∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．
切点为Q
∴BQ⊥CQ
∵AC⊥面BCED，BQ?面CEDB
∴BQ⊥AC
∴BQ⊥面ACQ（13分）
∵AQ?面ACQ
∴BQ⊥AQ．（14分）
解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），
则

AQ

=（-4，m，n），

BQ

=（0，m-4，n）

EQ

=（0，m，n-4），

QD

=（0，4-m，1-n）
∵AQ⊥BQ∴m（m-4）+n²=0①
∵点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0）
使得

EQ

=λ

QD

∴（0，m，n-4）=λ（0，4，m，1-n）⇒m=

4λ

1+λ

，n=

4+λ

1+λ

②
②代入①得（

λ+4

1+λ

）²=⇒λ²-8λ+16=0，解得λ=4
∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，

16

5

，

8

5

）．

点评：本小题主要考查空间线面关系、面面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．