在直角坐标系xOy中.曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{π}{3}}\\{y=tsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$.以坐标原点为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.曲线C3的极坐标方程为ρ2-6ρcosθ+8=0．(1)求曲线C1与C2� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{π}{3}}\\{y=tsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$（t为参数，t≠0），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C₃的极坐标方程为ρ²-6ρcosθ+8=0．
（1）求曲线C₁与C₂交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）
（2）若点P是曲线C₃上一动点，求点P到曲线C₁的最短距离．

分析（1）直接根据参数方程和普通方程互化公式进行处理、极坐标方程和直角坐标方程的互化公式进行化简即可；
（2）首先，求解圆心到直线的距离，然后，该距离去掉半径即为所求．

解答解：根据曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{π}{3}}\\{y=tsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$（t为参数，t≠0），
得y=$\sqrt{3}x$，
∵曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ，
∴x²+y²=2y，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2y}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
它们图象的交点为：（0，0），（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
对应的极坐标为（0，0），（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{3}$），
（2）曲线C₃的极坐标方程为ρ²-6ρcosθ+8=0，
对应的直角坐标方程为：x²+y²-6x+8=0，
∴（x-3）²+y²=1，
故圆心为（3，0），半径为r=1，
圆心（3，0）到直线y=$\sqrt{3}$x的距离为d=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴点P到曲线C₁的最短距离$\frac{3\sqrt{3}}{2}-1$．