Question

已知函数f（x）=

1

a

-

1

x

（a＞0，x＞0）．
（1）若f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=

1

a

-

1

x

，f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，且a＞0，
∴转化为a≥

x

2x2+1

=

1

2x+ 1 x

在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=

x

2x2+1

 =

1

2x+ 1 x

（当且仅当2x=

1

x

即x=

2

2

时取等号），
即g（x）≤

1

2 2

=

2

4

要使a≥

x

2x2+1

=

1

2x+ 1 x

（0，+∞）上恒成立，则a≥

2

4

，
故a的取值范围是[

2

4

，+∞）．

（2）任取x₁＞x₂＞0，
f（x₁）-f（x₂）=

1

a

+

1

x1

-（

1

a

+

1

x2

）=

x1-x2

x1x2

＜0，
故f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∵f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n）
∴m=f（m），n=f（n），即am²-m+a=0，an²-n+a=0．
故方程ax²+x+a=0有两个不相等的正根m，n，
注意到m•n=1，则只需要△=（1）²-4a²＞0，由于a＞0，则0＜a＜

1

2

．
故（1）的答案为[

2

4

，+∞)
（2）的答案为0＜a＜

1

2