Question

（2011•江苏二模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，E为AB的中点，F是C₁C上一点，且CF=2a．
（1）求证：C₁E∥平面ADF；
（2）试在BB₁上找一点G，使得CG⊥平面ADF；
（3）求三棱锥D-AB₁F的体积．

Answer 1

分析：（1）连接CE交AD于O，连接FO，由

CO

CE

=

CF

CC1

=

2

3

可证FO∥EC₁，根据线面平行的判定定理可证
（2）在平面C₁CBB₁内，过C作CG⊥DF，交BB₁于G，由AD⊥BC，CC₁⊥AD可证AD⊥平面C₁CBB₁
进而可证AD⊥CG，CG⊥DF，从而可证
（3）由题意可得VD-AFB1=VA-B1FD=

1

3

S△FDB1•AD，可求

解答：证明：（1）∵AB=AC，D为BC的中点
∵E为AB的中点，连接CE交AD于O，连接FO，
∴

CO

CE

=

CF

CC1

=

2

3

∴FO∥EC₁（2分）
∵FO⊆平面AFD，C₁E?平面AFD（4分）
∴C₁E∥平面AFD（5分）
（2）在平面C₁CBB₁内，过C作CG⊥DF，交BB₁于G
在△RtFCD 和△RtCBG中FC=CB，∠CFD=∠BCG
∴Rt△FCD≌Rt△CBG（6分）
而AD⊥BC，CC₁⊥AD且CC₁∩BC=C
∴AD⊥平面C₁CBB₁（8分）
∵CG⊆平面C₁CBB₁
∴AD⊥CG，
∵CG⊥DF，AD∩FD=D
∴CG⊥平面ADF
此时BG=CD=a（10分）
（3）AD⊥BCC₁B₁
∴VD-AFB1=VA-B1FD=

1

3

S△FDB1•AD（12分）
=

1

3

×

1

2

B1F•FD•AD
=

5 2

3

a3（14分）

点评：本题主要考查了直线于平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理的应用，利用等体积法求解三棱锥的体积是高考的重点题型，要注意掌握