Question

已知函数f（x）=log_ax和g（x）=2log_a（2x+4），（a＞0，a≠1）．
（I）若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象在x=x₀处的切线平行，求x₀的值；
（II）设F（x）=g（x）-f（x），当x∈[1，4]时，F（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象在x=x₀处的切线平行，可用在该点处的导数相等解决；
（II）先抽象出F（x）=g（x）-f（x）=2log_a（2x+4）-log_ax=loga

(2x+4)2

x

，x∈[1，4]，由当x∈[1，4]时，F（x）≥2恒成立，再求得函数F（x）的最小值即可．

解答：解：（I）∵f′(x)=

1

x

logae，g′(x)=

4

2x+4

logae（3分）∵函数f（x）和g（x）的图象在x=x₀处的切线互相平行∴f'（x₀）=g'（x₀）（5分）∴

1

x0

logae=

4

2x0+4

logae∴x₀=2（6分）
（II）∴F（x）=g（x）-f（x）=2log_a（2x+4）-log_ax=loga

(2x+4)2

x

，x∈[1，4]
令h(x)=

(2x+4)2

x

=4x+

16

x

+16，x∈[1，4]∵h′(x)=4-

16

x2

=

4(x-2)(x+2)

x2

，x∈[1，4]∴当1≤x＜2时，h′（x）＜0，
当2＜x≤4时，h′（x）＞0．h（x）在[1，2）是单调减函数，在（2，4]是单调增函数．（9分）
∴h（x）_min=h（2）=32，∴h（x）_max=h（1）=h（4）=36
∴当0＜a＜1时，有F（x）_min=log_a36，当a＞1时，有F（x）_min=log_a32．
∵当x∈[1，4]时，F（x）≥2恒成立，∴F（x）_min≥2（10分）
∴满足条件的a的值满足下列不等式组

0＜a＜1 loga36≥2

；①，或

a＞1 loga32≥2.

②
不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1＜a≤4

2

综上所述，满足条件的a的取值范围是：1＜a≤4

2

.（12分）

点评：本题主要考查导数的几何意义和用导数法解决恒成立问题．