题目内容
13．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，0＜α＜$\frac{π}{2}$），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+2cosθ=ρ（ρ≥0，0≤θ＜2π），直线l与曲线C交干A，B两点（1）求证：OA⊥OB；
（2）若α=$\frac{π}{4}$，求直线与l平行的曲线C的切线方程．
分析 （1）把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，证明x1x2+y1y2=0，即可证明OA⊥OB；
（2）若α=$\frac{π}{4}$，设直线方程为y=x+b，与y2=2x联立，可得x2+（2b-2）x+b2=0，△=（2b-2）2-4b2=0，求出b，即可求直线与l平行的曲线C的切线方程．
解答 （1）证明：直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，0＜α＜$\frac{π}{2}$），普通方程为y=tanα（x-2），
曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+2cosθ=ρ的直角坐标方程为y2=2x，
联立可得tan2αx-（4tan2α+2）x+4tan2α=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=4+$\frac{2}{ta{n}^{2}α}$，x1x2=4，
∴y1y2=-4，
∴x1x2+y1y2=0，
∴OA⊥OB；
（2）解：α=$\frac{π}{4}$，设直线方程为y=x+b，
与y2=2x联立，可得x2+（2b-2）x+b2=0，
∴△=（2b-2）2-4b2=0，
∴b=$\frac{1}{2}$，
∴直线与l平行的曲线C的切线方程为y=x+$\frac{1}{2}$．
点评 本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
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