Question

已知二次函数f（x）满足f（0）=2和f（x+1）-f（x）=2x-1对任意实数x都成立．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当t∈[-1，3]时，求y=f（2^t）的值域．

Answer 1

分析：（1）设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=2可求得c，由f（x+1）-f（x）=2x-1，得2ax+a+b=2x-1，所以

2a=2 a+b=-1

，可求a，b，从而可得f（x）；
（2）y=f（2^t）=（2^t）²-2•2^t+2=（2^t-1）²+1，由t∈[-1，3]，可得2^t的范围，进而可求得y=f（2^t）的值域．

解答：解：（1）由题意可设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），则
由f（0）=2得c=2，
由f（x+1）-f（x）=2x-1得，a（x+1）²+b（x+1）+2-ax²-bx-2=2x-1对任意x恒成立，
即2ax+a+b=2x-1，
∴

2a=2 a+b=-1

⇒

a=1 b=-2

，
∴f（x）=x²-2x+2；
（2）∵y=f（2^t）=（2^t）²-2•2^t+2=（2^t-1）²+1，
又∵当t∈[-1，3]时，2t∈[

1

2

，8]，
∴(2t-1)∈[-

1

2

，7]，（2^t-1）²∈[0，49]，
∴y∈[1，50]，
即当t∈[-1，3]时，求y=f（2^t）的值域为[1，50]．

点评：本题考查二次函数的值域及解析式的求解，考查学生分析问题解决问题的能力．