题目内容
给出下列命题：①“x=2”是“x2=4”的充分不必要条件；
②设A={x||x|≤3}，B={y|y=-x2+t}，若A∩B=∅，则实数t的取值范围为[3，+∞）；
③若log2x+logx2≥2，则x＞1；
④存在x，y∈R，使sin（x-y）=sinx-siny；
⑤若命题P：对任意的x∈R，函数
的递减区间为
，命题q：存在x∈R，使tanx=1，则命题“p且q”是真命题．其中真命题的序号为 ．
【答案】分析：根据充要条件的定义，可以判断①的真假；
解绝对值不等式求出A，根据二次函数的性质可以求出B，进而根据集合交集的定义，可判断②的真假；
根据对数的运算性质及基本不等式，可以判断③的真假；
令x=y=0时，可判断④的真假；
根据余弦函数的单调性，可以判断⑤的真假．
解答：解：当“x=2”时，“x2=4”成立，当“x2=4”时，“x=±2”故“x=2”不一定成立，即①“x=2”是“x2=4”的充分不必要条件正确；
A={x||x|≤3}=[-3，3]，B={y|y=-x2+t}=（-∞，t]，若A∩B=φ，则实数t的取值范围（-∞，-3），故②错误；
当x＞1时，log2x＞0，logx2＞0，log2x+logx2≥2
=2，但0＜x＜1时，log2x＜0，logx2＜0，log2x+logx2≤-2
=-2，
故log2x+logx2≥2时，x＞1，即③正确；
当x=y=0时，sin（x-y）=sin（0）=0=sin0-sin0=0，故④正确；
命题P：由2kπ≤
≤2kπ+π（k∈Z），得x∈
，故对任意的x∈R，函数
的递减区间为
是假命题，则命题“p且q”是假命题，故⑤错误
故答案为：①③④
点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，充要条件，不等式的解法，集合的运算，对数的运算性质，基本不等式，正弦函数的定义，及余弦函数的单调性，熟练掌握上述基本知识点是解答的关键．
解绝对值不等式求出A，根据二次函数的性质可以求出B，进而根据集合交集的定义，可判断②的真假；
根据对数的运算性质及基本不等式，可以判断③的真假；
令x=y=0时，可判断④的真假；
根据余弦函数的单调性，可以判断⑤的真假．
解答：解：当“x=2”时，“x2=4”成立，当“x2=4”时，“x=±2”故“x=2”不一定成立，即①“x=2”是“x2=4”的充分不必要条件正确；
A={x||x|≤3}=[-3，3]，B={y|y=-x2+t}=（-∞，t]，若A∩B=φ，则实数t的取值范围（-∞，-3），故②错误；
当x＞1时，log2x＞0，logx2＞0，log2x+logx2≥2
=2，但0＜x＜1时，log2x＜0，logx2＜0，log2x+logx2≤-2=-2，故log2x+logx2≥2时，x＞1，即③正确；
当x=y=0时，sin（x-y）=sin（0）=0=sin0-sin0=0，故④正确；
命题P：由2kπ≤
≤2kπ+π（k∈Z），得x∈，故对任意的x∈R，函数的递减区间为是假命题，则命题“p且q”是假命题，故⑤错误故答案为：①③④
点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，充要条件，不等式的解法，集合的运算，对数的运算性质，基本不等式，正弦函数的定义，及余弦函数的单调性，熟练掌握上述基本知识点是解答的关键．
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